今度整列可能定理の話とかを書きたいと思ってるので、その準備。

 

 

まず、順序集合の定義から。

 

集合$X$と$X$上の二項関係$leq$が次の$(1),(2),(3)$を満たすとします。

$(1)forall xin X, xleq x$

$(2)forall x,yin X,xleq yland yleq xRightarrow x=y$

$(3)forall x,y,zin X,xleq yland yland zRightarrow xleq z$

このとき、$leq$を$X$の順序といい、$(X,leq)$は順序集合であるといいます。

順序が明らかなときは$(X,leq )$を単に$X$と書いたりすることもあります。

 

順序集合$X$の任意の元同士が比較可能のとき、つまり次の$(4)$が成り立つとき、$X$は全順序集合であるといいます。

$(4)forall x,yin X,xleq ylor yleq x$

 

全順序でない順序を特に半順序と呼んだりもします。

 

たとえば実数の普通の大小関係とかは全順序ですね。

てきとーに集合$X$を考えたとき、そのべき集合は集合の包含関係で半順序です。

 

あと、複素数の集合には順序が入らないみたいなことを言う人がたまにいるみたいですけど(まあ実数の普通の大小関係と同じように入れられないという意味だとは思うけど)複素数にもたとえば辞書式順序とかで全順序が入ります。

つまり、各$x=a+bi,y=c+diinmathbb{C}(a,b,c,dinmathbb{R})$で$xleq yoverset{def}{Leftrightarrow}aleq clor(a=cland bleq d)$で$leq$を定めると$(mathbb{C},leq)$は全順序集合となります。

 

 

同じ集合でも順序の入れ方はいろいろあります。

たとえば自分の同級生たちの集合に、身長順で順序を入れたり体重順で順序を入れたりできるみたいな感じです。

 

 

2つの順序集合を考えるときは、順序の構造が似てるかどうかというのをよく調べます。

順序構造が似てるかどうかというのは、元の対応で考えます。

$(X,leq_X),(Y,leq_Y)$が順序集合で$fcolon X o Y$が次の条件を満たすとき$f$は順序を保つ写像であるといいます。

$forall a,bin X,aleq_X bRightarrow f(a)leq_Y f(b)$

順序を保つ写像$f$が全単射で逆写像も順序を保つとき特に$f$を同型写像といいます。

$X$と$Y$の間に同型写像があるとき$X$と$Y$は同型であるといって、そのことを$Xcong Y$と書きます。

順序集合どうしの同型という関係は、同値関係になっています。

同型な集合同士は同じような順序構造が入っているといえます。

 

たとえば$mathbb{N}$と$mathbb{Z}$は普通の大小関係では同型にはなりません。

($mathbb{N}$には最小元があるけど$mathbb{Z}$には最小元がないから。)

でも、$mathbb{Z}$を${0,-1,1,-2,2,…,-n,n,…}$と並び替えたら$mathbb{N}congmathbb{Z}$となります。

 

 

今度は、整列順序というものの話をします。

$X$が(全)順序集合で、空でない任意の部分集合$Y$が最小元を持つとき、その順序を整列順序といい、$X$を整列集合といいます。

 

「(全)順序集合」と書いたのは、全順序を要請するのをたまに見かけるからです。

でも、実は$X$半順序集合でも、各非空部分集合が最小元を持てば勝手に全順序になります。

 (各$x,yin X$について${x,y}$が最小元を持つから。)

 

すぐ分かるように、整列集合はその部分集合もまた整列集合になります。

 

整列集合のイメージは、$mathbb{N}$っぽい感じです。

$mathbb{Z}$とかもさっきみたいに並べ直すと整列集合になります。

 

 

整列集合について、次の命題があります。

 

$W$が整列集合で単射$fcolon W o W$が順序を保つとき、任意の$xin W$で$xleq f(x)$となる。

(証明)

$Acolon={xin X|xleq f(x)},Bcolon={xin X|f(x)<x}$とおく。

$W$は全順序だから$W=Acup B$となる。

よって、$B=emptyset$をいえばいい。

背理法で$B=emptyset$を示す。

$B eqemptyset$と仮定すると、$B$は最小元$m $をもつ。

この$m $について、$min B$より$f(m)<m $である。

$f$は単射で順序を保つので$f(f(m))<f(m)$となり、$f(m)in B$となる。

ところが$f(m)$は$m $つまり$B$の最小元より小さいので矛盾している。

従って$B=emptyset$となり、$W=A$となる。$■$

 

 

次に切片というのを紹介します。

整列集合$W$と各元$ain W$について、$a$より小さい元全体を$a$による$W$の切片と呼び、$W<a>$と書きます。

つまり$W<a>={xin W|x<a}$です。

 

 

切片は次のように特徴づけられます。

つまり、整列集合$W$と真部分集合$Lsubset W$について次が成り立ちます。

$exists ain W,L=W<a>Leftrightarrowforall xin L,W<x>subseteq L$

(証明)

$Rightarrow$は当たり前。

$Leftarrow$を確認する。

$W-L$は空でないのでその最小元$m$が存在する。

この$m $について、$W<m>subseteq L$となる。

実際、$xin W<m>$を任意にとると$x<m $であるが、もしも$x otin L$とすると$xin (W-L)$となり$(W-L)$の最小元$m $より小さいことに反するので、$xin L$となる。

逆に$Lsubseteq W<m>$も成り立つ。

実際、$yin L$を任意にとり、もし$y otin W<m>$と仮定すると$mleq y$より$min W<y>$となり条件から$min L$となるがこれは$min (W-L)$に反するので、$yin W<m>$となる。

以上から$L=W<m>$となる。$■$

 

 

整列集合$W$から$W$自身への順序をたもつ写像についての性質から、切片について次が成り立ちます。

$(1)forall xin W,W cong W<x>$

$(2)forall x,yin W,x eq yRightarrow W<x> cong W<y>$

(証明)

(1)

背理法で示す。

ある$ain W$で$Wcong W<a>$となるとする。

すると、順序同型$fcolon W o W<a>$が存在する。

$ain W$について$f(a)in W<a>$より$f(a)<a$となるが、これはさっきの命題に反する。

よって、$Wcong W<a>$となる$ain W$は存在しない。

(2)

$x,yin W,x eq y$を任意にとる。

$W$は全順序なので$x<y$としてよい。

このとき$(W<y>)<x>=W<x>$なので、(1)から$W<y> cong W<x>$となる。$■$

 

 

また、2つの同型な整列集合$V,W$について次が成り立ちます。

$(1)forall ain V,exists!bin W,V<a>cong W<b>$

$(2)$同型写像$V o W$はただひとつしか存在しない。

(証明)

(1)

$fcolon V o W$を同型写像とする。

各$ain V$に対して、$V<a>cong W<f(a)>$である。

また、$b,cin W$で$W<a>cong W<b>,W<a>cong W<c>$のとき$W<b>cong W<c>$となるのでさっきの命題から$b=c$となります。

(2)

任意の同型写像$f,gcolon V o W$を考える。

任意の$xin V$について、$W<f(x)>cong W<g(x)>$となるのでさっきの命題から$f(x)=g(x)$となる。

よって$f=g$となる。$■$

 

 

最後に、ふたつの整列集合$V,W$についての重要な定理をひとつ紹介しておきます。

 

整列集合の比較定理

任意の整列集合$V,W$について、次の(あ)、(い)、(う)のうちひとつが必ず成り立ち、成り立つのはひとつだけである。

(あ)$Vcong W$

(い)$exists ain V,V<a>cong W$

(う)$exists bin W,Vcong W<b>$

(証明)

$Kcolon={xin V|exists!yin W,V<x>cong W<y>}$

$Lcolon={yin W|exists!xin V,V<x>cong W<y>}$とする。

すると、$K$と$L$には自然に一対一の対応がつく。

その対応を$f$とすると$f$は順序同型である。

 

各$xin K$について$V<x>cong W<f(x)>$となるので、同型写像$g_xcolon V<x> o W<f(x)>$が一意的にとれる。

$K eq V$のときある$ain V$で$K=V<a>$となるので、それを示す。

任意の$xin K$を考える。

$zin V<x>$を任意にとると$g_z$の$V<z>$での制限によって$V<z>cong W<f(g_x(z))>$となり、$zin K$となる。

つまり$V<x>subseteq K$となる。

よって、さっき書いた切片の特徴から、ある$ain V$で$ K=V<a>$となる。

同様にして、$L eq W$のときある$bin W$で$L=W<b>$となる。

 

したがって、$V,W,K,L$について、次の4つの状況が起こり得る。

(ア)$K=V,L=W$

(イ)$K=V,L=W<b>(exists bin W)$

(ウ)$K=V<a>(exists ain V),L=W$

(エ)$K=V<a>(exists ain V),L=W<b>(exists bin W)$

ただし、実際には(エ)は起こり得ない。

(もし(エ)のような状況が起きれば、$V<a>cong W<b>$より$ain K$つまり$ain V<a>$となるがこれは切片の定義に反するから。)

 

$Kcong L$だから、(ア)、(イ)、(ウ)のときそれぞれ(あ)、(い)、(う)が成り立つ。

 

(あ)、(い)、(う)のいずれも両立しないのは、さっき書いた整列集合についての命題から分かる。$■$

 

 

おわり。

今度は、この整列集合の比較定理を使って、選択公理と整列可能定理の同値になる証明を書きます。そのうち。

 

 

参考文献

数学たん(@suugakutan)さんの一連のツイート。

 

 

旦那さんとお買い物〜♪

電気屋さんで怪獣さんが忙しそうに販促中♪

怪獣さんも大変ですね!

怪獣さん:「いやぁ〜。セロテープでしっかりつけられちゃってますから仕方ないっすよ〜。」

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旦那さんの買い物に付き合う。。。

うさちゃん:「黒光りする素敵な靴がいっぱいです♪」

その表現は。。。(^^;;

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うさちゃん:「退屈なんてちっとも思ってませんよ!いやぁ〜ホントに。」

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何気にその場で会員になってできるスロットで最大の20%OFFが当たる強運旦那さん(笑)

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買い物付き合ったご褒美にチョコミントアイス〜♪

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あー、どうもみなさんこんばんちわっす。

 

最近になって、やっとこさここ1年くらいずーっとちまちまやってた「グランセフトオートV」を全クリしてしまったので

 

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こないだブックオフで超今更ながら「龍が如く3」をゲットしてみました。

 

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500円だったから

 

昔、何故か「龍が如く」の番外編みたいなやつはやったことあったんですけど

 

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このちゃんとしたシリーズのやつはやったことがなかったので、毎日楽しみながらちまちまやってます。笑

 

ちなみに誰かおもしろいアクションゲーム(できればギャング系だと嬉しい)知ってたら教えてください。

 

※RPGとか格ゲーはすぐ飽きるから嫌い。

 

そんな感じの今日この頃。

だかひーです、ちーっす。

 

ま、それはいいとして。

 

 
 

 

街中で出会った人が自分とかぶってたとき結構恥ずかしい

 

スゲー、どうでもいいっちゃどうでもいい話なんですけど、たまーに街歩いてたりとか電車乗ったりしてる時に

 

 

人と持ち物がかぶっちゃったりすることありません?汗

※もちろん知人じゃなくて、全然知らない人。苦笑

 

 

特に僕はユニクロヘビーユーザーなので、結構その確率が高いんですけど。苦笑

 

 

俺ああいう場面に遭遇するたびにすげー恥ずかしくなって、思わずその場でそのかぶってるものを捨てたくなるくらい恥ずかしくなるんですけど、これって俺だけですかね?笑

 

 

だもんで、今日はそんな超個人的な「街中で出会った人とこれがかぶってたらめちゃめちゃ恥ずかしいランキングTOP5」をお届けしてみようかと。

 

 

超個人的に「街中で出会った人とこれかぶってたらめちゃめちゃ恥ずかしいランキングTOP5」

 

第5位 腕時計

 

これ地味に恥ずかしい。

一見さりげないアイテムなので、お互い気付きにくいっちゃ気付きにくいんですけど、端からみたら完全にカップルもしくはゲ○みたいになっちゃってるじゃないか。汗

 

 

第4位 靴

 

まあ同じブランド.メーカーくらいだったら別にそんな思わないんですけど、1番最悪なのが色もモデルも完全に被ったときね。汗

 

なぜ世の中にこれだけ出回ってる膨大な数の靴の中から、なぜ同じ日に同じモノをチョイスして、しかもこんな狭い世の中で出会ってしまうのか。

 

いろんな意味で運命を感じずにはいられません…(変な意味じゃないよ)

 

 

第3位 バッグ

 

バッグなんて、一見なかなか被ることがなさそうな分、かぶった人を見つけてしまった時のあのいろんな意味での衝撃!!汗

 

端から見たら完全におそろか仲良しみたいになってるじゃないか…

 

全く知らない人だぜ…

 

 

第2位 シャツ

 

特にこれは僕がユニクロでシャツ買うからってのもあるんですが(苦笑)、やっぱこれも靴と一緒で同じ柄で同じ色のシャツ着てたらもう最悪。

 

もうボタンのかけ方くらいでしか差を出せない。

 

最悪、端から見たらアキバ系の人にしか見えないかもしれない!!汗

 

じゃ、ユニクロでシャツ買わなきゃいーじゃんって話なんですが、あのユニクロのクオリティと値段を無視して生きていくことは果たして可能なのだろうか…

 

 

第1位 Tシャツ

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あー、もうこれは完全に最悪なパターンのやつだー!!

 

それこそさっきの靴なんかに比べても比べもんにならないくらい、この世の中にはありとあらゆるTシャツが溢れてるわけですよ!!

 

なのになぜ!!

 

 

なのになぜ!!(2回目)

 

 

なぜ、同じ日にしかも全く同じTシャツを着て歩いてる人間が街に2人もいるんだ!!汗

 

 

前に一度、信号待ちしてた横断歩道の向こうで待ってる人も俺がその時着てたTシャツと全く同じものを着てて、あの逃げ場ない感じがすこぶる恥ずかしかったぞ!!汗

 

さっきのシャツだったら、まだ脱げたりするけど、もうTシャツ脱いだらほぼ高確率で上裸だからなー!!汗

 

警察に怒られる道を選ぶか…ただただ公衆の面前での羞恥プレイに耐えるか…

 

 

神様…あんたは何て試練を俺に与えやがるんだ…

 

 

 

あとがき

 

ってな感じで、まぁ超個人的な感想をつらつらーっと述べてみましたがいかがだったでしょうか?苦笑

 

 

あー、もうどうせなら高橋メアリージュンと被るとかだったらむしろ喜んで着るけど。

 

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お後がよろしいようで。

 

ばいちゃ。

 

 
 

 

 

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沙高楼奇譚というシリーズの一つ。

 

浅田次郎好きとかいいながら、

JALの雑誌のコラムと『地下鉄に乗って』くらいしか読んでなかったので、

ブックオフで買って読んでみた。

 

特別な人しか来れない、

真面目なすべらない話みたいな設定。

 

語り手ごとに一つの章だから、

短編集みたいな感じだったんだけど、

結構読み応えがあった…

 

期待させて、裏切らない演出が上手だなぁと思った。

最後の一話がなんだか、

えーっえーーーってなる。

 

読んだらわかるけど、期待はしないでほしい…

f:id:torimiko:20151020164002j:image
お疲れ様です。
夕陽に全てのお疲れを燃やして天上にもっていってもらいましょ。


 先日の3Dデータをクホリアで出力してみたら約40時間かかってできたのがこれ。

f:id:orangekujira:20170703225858j:plain

ABSで、ノズル0.3ミリで積層0.05ミリ、サポート濃度はおそらく中間だったかな。

高さは16センチで、1/10サイズです。

もっとサポートを減らしたいのですが、失敗のリスクを減らすために多めに設定しています。

今の仕事を辞められたら色々試してサポートを少なくても綺麗に出力できるようにしたいのですが、現実は厳しいです(T_T)

で、サポートをできるだけとってサフを噴いたのがこれ

f:id:orangekujira:20170703231422j:plain

f:id:orangekujira:20170703231457j:plain

髪の毛とかサポートがきれいにとれなかったため、サフを噴くと汚くなってしまいました。

太ももとかはおしりとか大きい部位はサポートもとれやすかったので、サフを噴いても綺麗ですけど、髪とか細いところはサポートも細かくなっているみたいでそれを取るのに一苦労やし、どうしても残ってしまった。

髪の一部が欠けたりもしたし(>_<)

細かいサポートを上手く取る方法はないものかしら。

今回の目的であった体のバランス等の確認はできたので今回はよかったけど、最期の方はもっと精密さをもとめることになると思うので、クホリアのポテンシャルを引き出せれるよう頑張らんとなぁ(^^;)

26日27日の予定

2018/03/10

土曜日、江戸川開会式、午後から大かご

日曜日、リーグ戦、14時から鹿骨グランド
スタッフ手薄になるためがっつり体験はちょっと対応困難ですがちょっと様子見
や見学程度であらば大歓迎ですよ
桜吹雪を楽しみながら、グランドにいらしてみませんか?

コレステロール値が低すぎます。早めに受診して下さい。

(  Д ) ミ゜。
コレステロール値が高すぎてどうこうって言われる時代だからやや気にしてたぐらいだったけど、まさかのとは……。
あと、例によって尿検査が微妙にひっかかってたっぽい。

f:id:masa10xxxxxx:20170506224827j:plain

 

あー、どうもみなさんこんばんちわっす。

 

初っ端からいつもの如くスゲークソどうでもいい話なんですが、最近になって何となく観始めたもののケッコーハマってます。

 

亜人(のアニメ)

f:id:masa10xxxxxx:20170506222907j:plain

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しかも、これたしかNetflix限定配信(なはず)なんすよね。(そんなことはないらしい)

www.cinra.net

 

いやー、初めてNetflix入ってて良かったと心から思いました。

 

やるな、Netflix。笑
www.masa10xxx.com

しかも、このアニメ基本ほとんどCG映像で出来てるんすよね。

確か俺が知ってるアニメだと、この手法のアニメは「シドニアの騎士」以来だと思う。

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ま、若干ちょいちょいグロテスクな描写があったりするんで、苦手な人は苦手かもしんないすけど、ハマる人は間違いなくハマると思うんで、まだ観たことない人でこういうの興味ある人はチェックしてみてはいかがでしょーか。

 

そんな感じの、友達はアニメ。

(って書くとめちゃめちゃ寂しいヤツ感ハンパじゃない。苦笑)

 

だかひーです、ちーっす。

ま、それはいいとして。

 

 
 

たかがブログのことを「記事」とか「メディア」とか言うことにだいぶ抵抗感がある。

 

で、これまたいつもの如くクソどうでもいい話でアレなんすけど、もう気付けばこうやって毎日こんなクソしょうもない文章を毎日毎日垂れ流して1年半くらいになるんすけど。苦笑

 

で、そんなブログ書き始めてからずーっと思ってることがあるというか、なんというかってことがあって。

 

ってのも

 

たかがブログのことを「記事」とか「メディア」とか言うこと(人にも)だいぶ抵抗感あるんすよね。

 

たかがブログ

ってのも、こういう言い方はアレすけどブログなんて、たかがブログじゃないですか?

 

でも、たまに(特にプロブロガー界隈)ブログのことをすぐ「記事」とか「メディア」とか言う人いるじゃないですか?

 

正直、個人的にはあの気持ちがあんま分からなくて。

 

ってのも

 

何でそんなにブログを「崇高なモノ」として捉えてるんだろう?

f:id:masa10xxxxxx:20170506225017j:plain

 

と単純に疑問に思って。

 

やっぱ「記事」とか「メディア」とかって言葉聞くとイメージするのは、ある程度しっかりした、言ってしまえばそれで商売出来るくらいのクオリティのモノだったりするじゃないですか?

 

簡単に言っちゃえばその道のプロな訳で。

(どうでもいいけど、プロブロガーを「プロ」って思ったことは一度もない。ただの厨二病の集団くらいにしか思ってない。)

 

それに比べたら、このブログなんて俺が書きたいように好き勝手書いてるだけで、全然そんなクオリティのモノだとは到底思えないっすもん。

 

だから、とてもじゃないけど自分で書いたブログを自分で「記事」とか「メディア」とかって到底言う気にもなれないんすよね。

 

恥ずかしすぎて。苦笑

 

って言うか、こう言うこと書くと「自信持って書けよ」的なこと言われそうすけど、じゃあ逆に聞きたいんすけど、そんなあなたの言うブログはそんなに「記事」とか「メディア」とか言えるくらいクオリティ高いと少なくとも自分では思ってるんすか??汗

 

だとしたらマジカッケーっす!!ハンパねーっす!!(あ、若干の皮肉ですよ)

 

ブログなんて好き勝手書いとけばそれでいいのだ。と思う。

 

ってか、ブログなんて所詮ブログなんだから、書いてる人が好きなことを好きなように好き勝手に書けばいいのだ。

 

それを「プロブロガー」みたいなアホ集団が「簡単にお金稼げますよ!」みたいなことばっかアホの一つ覚えみたいに書いて、ビジネスライクに持ってくから、それに感化された楽して稼ぎたいだけの人がわんさか出てくるハメになるのだ。

 

で、結局どれも似たような感じのことばっか書き出すし。

(噂の「ライフハック」とか「オピニオン」系のやつね。苦笑)

 

日本語喋れよ

 

あとがき

 

ま、そんな感じでこんな感じの「たかがブログ」を興味あったら、これからもよろしくお願いしまーす。

 

なんちゃってー。

 

では。

 

今日の一曲

 清水翔太/HOME

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今日はSJ君と出航。

全然釣れなかったけど一匹だけ、釣れました。
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今年初のアコウ(キジハタ)です。(30㎝)嬉しい。
アコウシーズン到来かな?
 
今日はアコウが釣れたのでオッケーーー!
 
SJ君は、ボウズでした。。。(笑)

 

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